The Advective Fisher-Rao Geometry of Deterministic Measure Transport
Di cosa parla
Propongono una nuova metrica, chiamata "advettiva Fisher‑Rao", per misurare cambiamenti lungo percorsi di distribuzioni di probabilità che si muovono nel tempo, con l'obiettivo di trovare le direzioni di discesa migliori durante l'ottimizzazione di quei percorsi. Mostrano che questa metrica emerge da tre prospettive teoriche differenti e presentano esperimenti in cui essa porta a un adattamento migliore delle distribuzioni, mentre un metodo alternativo ottimizza invece i campi di velocità.
Cosa permette di osservare
Permette di esplorare quando conviene usare una misura che mira a far combaciare meglio le distribuzioni rispetto a una che mira a far combaciare i loro moti, e come diverse giustificazioni teoriche portano alla stessa soluzione pratica.
Dalla fonte
A novel advective Fisher-Rao metric is introduced for optimization tasks on paths of probability measures governed by the continuity equation. This metric is shown to lead to optimal descent directions. It is then shown that this metric arises naturally from three different perspectives: As the rescaled zero-noise limit of the Fisher-Rao metric on path measures, as the expected value of the second variation of the Freidlin--Wentzell large deviation rate functional, and as the Hessian of the Benamou--Brenier action functional from dynamic optimal transport. We supplement this geometric construction with computational experiments. Here, we demonstrate empirically that the advective Fisher-Rao metric yields the desired optimal fitting of probability densities, whereas the Gauss--Newton method yields optimal fitting of velocity fields.